Родился 14 мая 1973 года в посёлке Арбын Намского района Якутской АССР. Детство провёл в селе Оймякон Оймяконского района.
В 1992-1993 годах проходил службу в миротворческих силах России в зоне военного конфликта в Приднестровье (город Бендеры).
Уволившись в запас в 1993 году, поступил на службу в органы внутренних дел Якутии. В 1995–1996 годах в составе отряда милиции особого назначения младший лейтенант Колесов А.Г. как инструктор боевой и специальной подготовки неоднократно выезжал в служебную командировку в Чеченскую Республику.
Колесов Александр Гаврильевич – командир якутского добровольческого отряда «Боотур-1» добровольческого штурмового батальона «БАРС-2». В августе – сентябре отряд «Боотур-1» в составе добровольческого штурмового батальона «БАРС-2» находился на передовой, в районе сёл Цуповка, Макарово, Токаревка Вторая, что в 20 километрах севернее Харькова. Одним из самых тяжёлых периодов СВО стал сентябрь, когда Вооружённые силы Украины (ВСУ) перешли в мощное контрнаступление на позиции российских войск. К 11 сентября российские подразделения на севере Харьковской области были вытеснены за линию государственной границы, и якутский отряд перебросили на другой участок.
24 сентября 2022 года перед отрядом «Боотур» была поставлена задача – прикрыть эвакуацию других армейских подразделений из восточных районов Харьковской области. Как только бойцы отряда рассредоточились на левом фланге обороны, они попали под интенсивный миномётный обстрел ВСУ. Два человека сразу оказались ранеными. Александр Колесов вместе с молодым напарником Алексеем Боткиновым вывезли их на автомобиле «Патриот» в безопасное место. Сразу же они вернулись на передовую, где напарник был убит огнём из украинского БТР. Командир принял неравный бой в сложнейших условиях отступления. Когда Колесов А.Г. вышел на окраину населённого пункта, который оборонял отряд от превосходящих в 4–5 раз сил противника, он организовал эффективную противотанковую оборону, параллельно обеспечив чёткое информирование штаба армии о текущей боевой обстановке.
К этому времени в отряде скопилось большое количество раненых, которым требовалась эвакуация. Использовав оказавшийся поблизости автомобиль «Урал», военнослужащие смогли прорваться сквозь обстрел и выехать с ранеными в безопасное место. Там Александр Колесов увидел ещё один автомобиль из резерва. Вместе с добровольцем Владимиром Алексеевым он вернулся на нём в зону боевых действий и вывез оставшихся раненых бойцов в госпиталь города Сватово (ЛНР). Всего ему удалось спасти в тот день жизни примерно 50 человек, а также лично уничтожить несколько единиц боевой техники врага и нанести существенный урон его живой силе, благодаря чему эвакуация военнослужащих была проведена своевременно и с минимальными потерями.
В апреле 2023 года Указом Президента Российской Федерации за мужество и героизм, проявленные при исполнении воинского долга, Колесову Александру Гаврильевичу присвоено звание Героя Российской Федерации с вручением медали «Золотая Звезда».
Награда была вручена Герою России 23 мая 2023 года в Екатерининском зале Сенатского Дворца в Кремле Президентом России В. В. Путиным.
Награждён орденом Мужества (2023), медалями, в том числе «За отвагу» (1998).